Pitanje:
Zašto je Mach 0,3 prag koji razdvaja stlačivi i nestlačivi protok?
Paul
2016-02-09 22:13:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Pročitao sam da je Mach 0,3 u velikoj mjeri gornja granica za tretiranje zraka kao nekompresibilne tekućine. Čini se da izvori koje sam pročitao ovo tretiraju kao datost, bez dokaza i opravdanja.

Zašto je ovo ograničenje? Postoji li matematičko opravdanje za to? Također, odnosi li se ovo ograničenje samo na zrak? Ako ne, onda o čemu ovisi ograničenje?

Jedan odgovor:
#1
+11
Chuck
2016-02-09 22:29:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Wikipedia daje razlog za Mach 0,3 zbog činjenice da se time postiže ~ 5% promjena gustoće.

Pronašao sam NASA-inu stranicu koja opisuje (analitički!) odnos. Naveo sam izvor, ali ovdje ću reproducirati ovo djelo za potomstvo, u slučaju da se njihove veze promijene.

Započnite sa očuvanjem zamaha:

$$ (\ rho V) dV = -dp \\ $$

gdje je $ \ rho $ gustoća fluida, $ V $ je brzina , a $ p $ je tlak. za izentropni tok:

$$ \ frac {dp} {p} = \ gamma \ frac {d \ rho} {\ rho} \\ dp = \ lijevo (\ frac {\ gamma p} {\ rho} \ desno) d \ rho \\ $$

gdje $ \ gamma $ je specifični omjer topline. Zakon o idealnom plinu daje:

$$ p = \ rho RT \\ $$

gdje $ R $ specifična je plinska konstanta, a $ T $ apsolutna temperatura. Dakle, zamjenom:

$$ dp = \ gamma RT d \ rho $$

Brzina zvuka može biti izračunato prema:

$$ \ gamma RT = a ^ 2 \\ $$

gdje je $ a $ je brzina zvuka, pa:

$$ dp = a ^ 2 d \ rho \\ $ $

Zamjenom gornjeg izraza u jednadžbu očuvanja impulsa dobivamo:

$$ (\ rho V) dV = -a ^ 2 d \ rho \\ - \ lijevo (\ frac {V ^ 2} {a ^ 2} \ desno) dV / V = ​​d \ rho / \ rho \\ - M ^ 2 dV / V = ​​d \ rho / \ rho \\ $$

gdje je $ M $ Machov broj. Ovo daje Machov broj 0,3, što predstavlja približno 5% promjene gustoće.

Kao napomenu, ovo se temelji na Machovom broju, koji zauzvrat ovisi o brzini zvuka u plinu, pa se automatski prilagođava po plinu.

@Paul ovo je izvedeno iz očuvanja zamaha. nije toliko "pravilo" koliko prijedlog. ako vam nije stalo do promjena gustoće (ili drugih količina) od 10% (ili više), samo naprijed i upotrijebite nestlačive odnose za velike Machove brojeve. ako vam je * stalo do malih promjena gustoće, tada upotrijebite stisljive relacije čak i za male Machove brojeve
Nije samo gustoća. Kada nedimenzionaliziramo jednadžbe, izvlačimo bezdimenzionalne skupine. Osnovno je pravilo da ako je bezdimenzionalna skupina manja od 0,1, možemo zanemariti relevantne pojmove. U slučaju Machova broja prikazuje se u kvadratu. Dakle, želimo (Machov broj) ^ 2 <0,1. To otprilike daje 0,3. Nije samo gustoća - u osnovi na sve stvari koje se mijenjaju većom brzinom utjecati će otprilike 10% kad Mach-ov broj dosegne 0,3.
@Joel - Za kontekst, OP se posebno pitao za kompresibilnost, zbog čega ovaj odgovor pokriva samo gustoću.
Jasnije bih rekao da to nije oštra crta razdvajanja. Ako imate nižu toleranciju za pogreške, počnite koristiti stlačivu otopinu na nižim Mach brojevima. Ako vas nije toliko briga, nastavite pretpostavljati nekompresibilnost kod većih brojeva maha. 10% je samo proizvoljan izbor koliko je pogreška "stvarno bitna", a 0,3 matematički ispada iz toga, ali ne manje proizvoljno.
@chuck - ovdje gluposti, ali tretiranje nečega kao nekompresibilne tekućine znači da moram reći da je divergencija polja brzine 0. To utječe na puno više od same gustoće - do te mjere da kad odem na razgovor i netko kaže da je pod pretpostavkom da je nekompresibilna tekućina obično nije izjava o gustoći.
@costrom Naravno da jeste! Prijelaz sa stišljivog i nestlačivog nije binarna situacija. Tekućine postaju sve više i više parametarske s jednim ili drugim skupom jednadžbi; između država totalni je nered za analizirati. Zatim opet, "Pa, Bljesak [Neustrašivi], u ovom dijelu galaksije gravitacija nije toliko zakon koliko lokalni propis."
http://www.dept.aoe.vt.edu/~devenpor/aoe3114/calc.html
https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/isentrop.html


Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...