Pročitao sam da je Mach 0,3 u velikoj mjeri gornja granica za tretiranje zraka kao nekompresibilne tekućine. Čini se da izvori koje sam pročitao ovo tretiraju kao datost, bez dokaza i opravdanja.
Zašto je ovo ograničenje? Postoji li matematičko opravdanje za to? Također, odnosi li se ovo ograničenje samo na zrak? Ako ne, onda o čemu ovisi ograničenje?
Wikipedia daje razlog za Mach 0,3 zbog činjenice da se time postiže ~ 5% promjena gustoće.
Pronašao sam NASA-inu stranicu koja opisuje (analitički!) odnos. Naveo sam izvor, ali ovdje ću reproducirati ovo djelo za potomstvo, u slučaju da se njihove veze promijene.
Započnite sa očuvanjem zamaha:
$$ (\ rho V) dV = -dp \\ $$
gdje je $ \ rho $ gustoća fluida, $ V $ je brzina , a $ p $ je tlak. za izentropni tok:
$$ \ frac {dp} {p} = \ gamma \ frac {d \ rho} {\ rho} \\ dp = \ lijevo (\ frac {\ gamma p} {\ rho} \ desno) d \ rho \\ $$
gdje $ \ gamma $ je specifični omjer topline. Zakon o idealnom plinu daje:
$$ p = \ rho RT \\ $$
gdje $ R $ specifična je plinska konstanta, a $ T $ apsolutna temperatura. Dakle, zamjenom:
$$ dp = \ gamma RT d \ rho $$
Brzina zvuka može biti izračunato prema:
$$ \ gamma RT = a ^ 2 \\ $$
gdje je $ a $ je brzina zvuka, pa:
$$ dp = a ^ 2 d \ rho \\ $ $
Zamjenom gornjeg izraza u jednadžbu očuvanja impulsa dobivamo:
$$ (\ rho V) dV = -a ^ 2 d \ rho \\ - \ lijevo (\ frac {V ^ 2} {a ^ 2} \ desno) dV / V = d \ rho / \ rho \\ - M ^ 2 dV / V = d \ rho / \ rho \\ $$
gdje je $ M $ Machov broj. Ovo daje Machov broj 0,3, što predstavlja približno 5% promjene gustoće.
Kao napomenu, ovo se temelji na Machovom broju, koji zauzvrat ovisi o brzini zvuka u plinu, pa se automatski prilagođava po plinu.